函数 $\mathrm{f}$ 定义为 $\mathrm{f}(x)=3-\frac{4}{2x+3}$，其中 $x> -\frac{3}{2}$。

(a) (i) 求 $\mathrm{f}'(x)$。

(ii) 由此，证明 $\mathrm{f}$ 是增函数。

(b) (i) 求 $\mathrm{f}^{-1}(x)$ 的表达式。

(ii) 写出 $\mathrm{f}^{-1}$ 的定义域和值域。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把倒数写成负一次幂，再使用链式法则。

Differentiating $3-4(2x+3)^{-1}$ gives $\mathrm f'(x)=8/(2x+3)^2$.

在整个定义域中检查导数的符号。

For every $x>-3/2$, the square $(2x+3)^2$ is positive, so $\mathrm f'(x)>0$. Hence $\mathrm f$ is increasing throughout its domain.

令原函数等于 $y$，解出 $x$ 后交换输入与输出。

From $y=3-4/(2x+3)$ we get $2x+3=4/(3-y)$. Hence

反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域。用 (i) 验证原函数能取遍 $3$ 以下的值。

For $x>-3/2$, we have $\mathrm f(x)<3$. For each $y<3$, the input $2/(3-y)-3/2$ lies in the original domain and maps to $y$. Therefore the domain of $\mathrm f^{-1}$ is $(-\infty,3)$, and its range is $(-3/2,\infty)$.