一种将围栏桩打入地面的工具称为“打桩器”。打桩器每次撞击使桩下沉的距离（以毫米计）构成等比数列。前三次撞击分别使桩下沉 $50\text{ mm}$、$40\text{ mm}$ 和 $32\text{ mm}$。

(a) 验证第 9 次撞击是首次使桩下沉不足 $10\text{ mm}$ 的撞击。

(b) 求撞击 20 次后桩在地下的总深度，答案取至最接近的毫米。

(c) 求理论上可以达到的最大地下总深度。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

公比介于 $0$ 和 $1$ 之间，单次下沉量递减。比较第八和第九项是否跨过 $10$。

The ratio is $40/50=0.8$. The eighth impact gives $50(0.8)^7=10.48576$ mm, and the ninth gives $50(0.8)^8=8.388608$ mm. Since the sequence is decreasing, the ninth is the first impact below $10$ mm.

总深度是前 $20$ 项和。先保留公比的精确值，再在最后取整。

The total after $20$ impacts is

which is $247$ mm to the nearest millimetre.

将击打次数趋向无穷。公比小于 $1$，总深度趋近无穷和。

The theoretical limiting depth is $50/(1-0.8)=250$ mm. The finite totals approach this value from below.