一条曲线满足 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{1}{2}}$，且经过点 $(3,5)$。

(a) 求曲线的方程。

(b) 求驻点的 $x$ 坐标。

(c) 写出使 $y$ 随 $x$ 增加而增加的 $x$ 的取值集合。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分别积分两个分数次幂。代入 $x=3$ 时，两个含根式的项相消。

Integrating gives $y=2x^{3/2}-6x^{1/2}+C$. At $x=3$, the first two terms are $6\sqrt3$ and $-6\sqrt3$, so $C=5$. The curve is $y=2x^{3/2}-6x^{1/2}+5$ for $x>0$.

把一阶导数提取公因式。定义域内分式因子不为零，只需检查另一因子。

Since

the derivative is zero exactly at $x=1$.

沿用 (b) 的因式分解。分母为正，因此导数符号由 $x-1$ 决定。

The derivative is positive for $x>1$, so $y$ increases as $x$ increases on that interval.