函数 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 定义为

其中 $a$ 为常数。

(a) 求 $\mathrm{gf}(x)$ 的表达式。

(b) 已知 $\mathrm{gf}(2)=11$，求 $a$ 的值。

(c) 已知 $y=\mathrm{f}(x)$ 的图像在 $x=1$ 时有最低点，说明 $\mathrm{f}$ 是否有反函数。

现改为给定 $a=5$。

(d) 求 $\mathrm{g}^{-1}\mathrm{f}(x)$ 的表达式并化简。

(e) 解释为什么不能构成复合函数 $\mathrm{fg}$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把 $\mathrm f(x)$ 整体代入 $\mathrm g$。

Since $\mathrm g(u)=au+1$, we get $\mathrm{gf}(x)=a(x+1/x)+1$ for $x>0$.

先求 $\mathrm f(2)$，再由复合函数值解出 $a$。

We have $11=a(2+1/2)+1$, so $(5/2)a=10$ and $a=4$.

检查不同的输入是否会得到同一个输出。最小值两侧可以取一对互为倒数的输入。

The function is not one-to-one on $x>0$. For example, $\mathrm f(2)=5/2=\mathrm f(1/2)$. Therefore $\mathrm f$ has no inverse on its stated domain.

先求线性函数 $\mathrm g$ 的反函数，再把 $\mathrm f$ 的表达式代入。

When $a=5$, $\mathrm g^{-1}(u)=(u-1)/5$. Thus for $x>0$,

检查 $\mathrm g$ 的整个值域是否包含在 $\mathrm f$ 的定义域中。

With $a=5$, the range of $\mathrm g$ is $\mathbb R$, whereas $\mathrm f$ requires a positive input. For example, $\mathrm g(-1/5)=0$. Hence $\mathrm{fg}$ cannot be formed on the full stated domain of $\mathrm g$.