点 $A$、$B$ 和 $C$ 的坐标为 $A(5,-2)$、$B(10,3)$ 和 $C(2p,p)$，其中 $p$ 为常数。

(a) 已知 $AC$ 与 $BC$ 长度相等，求分数 $p$ 的值。

(b) 现改为给定 $AC$ 垂直于 $BC$，且 $p$ 为整数。

(i) 求 $p$ 的值。

(ii) 求经过 $A$、$B$ 和 $C$ 的圆的方程，答案写成 $x^2+y^2+ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 为常数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

到 $A$ 和 $B$ 距离相等的点在 $AB$ 的垂直平分线上。求出这条直线，再代入 $C$。

The midpoint of $AB$ is $(15/2,1/2)$ and $AB$ has gradient $1$, so its perpendicular bisector is $y=8-x$. Substituting $C=(2p,p)$ gives $p=8-2p$, hence $p=8/3$.

也可以直接写出两段距离的平方并令它们相等。相同的二次项会相消。

The equality $AC^2=BC^2$ gives

Expanding gives

Cancelling $5p^2$ gives $30p=80$, so $p=8/3$.

先排除竖直直线的特殊情形，再用两斜率乘积为负一表示垂直关系。求根后按题意保留整数。

If $p=5/2$, $AC$ is vertical but $BC$ is not horizontal; if $p=5$, $BC$ is vertical but $AC$ is not horizontal. Neither value gives perpendicular lines. Otherwise the gradients are

Since their product is $-1$,

Thus $p=11/5$ or $p=4$, and the only integer value is $p=4$.

角 $ACB$ 是直角，故 $AB$ 为圆的直径。用直径中点与半径写圆方程，再展开。

The circle has centre $(15/2,1/2)$ and squared radius $(5/2)^2+(5/2)^2=25/2$. Thus

Expanding gives $x^2+y^2-15x-y+44=0$.