图中所示的图案由两条圆弧构成：一条是圆心为 $O$、半径为 $r$ 的圆的优弧 $AB$；另一条是圆心为 $C$、半径也为 $r$ 的圆的劣弧 $AOB$。点 $C$ 位于以 $O$ 为圆心的圆上。

(a) 已知角 $ACB=k\pi$ 弧度，写出分数 $k$ 的值。

(b) 用 $\pi$ 和 $r$ 表示阴影图案的周长。

(c) 求阴影图案的面积，答案用 $\pi$、$r$ 和 $\sqrt{3}$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

连结两圆的圆心。它与各交点组成边长都为 $r$ 的等边三角形。

The triangles $ACO$ and $BCO$ are equilateral because $AC=BC=AO=BO=CO=r$. Thus $\angle ACB=2\pi/3$, giving $k=2/3$.

周长由同半径的两段弧组成。它们各自的圆心角相加恰好为一周。

At $O$ the minor angle $AOB$ is also $2\pi/3$, so the major arc at $O$ subtends $4\pi/3$. The minor arc at $C$ subtends $2\pi/3$. The perimeter is $r(4\pi/3)+r(2\pi/3)=2\pi r$.

把阴影视为以 $O$ 为圆心的整圆减去两圆的重叠部分。重叠部分被弦 $AB$ 分成两个全等弓形。

Each segment is the difference between a sector of angle $2\pi/3$ and its isosceles triangle, so it has area

The shaded area is

也可以从 $O$ 的大扇形出发，减去弧 $AO$ 和 $OB$ 各自与半径围成的小弓形。

The major sector at $O$ has area $\frac12r^2(4\pi/3)$. The chord $AO$ subtends $\pi/3$ at $C$, and the chord $OB$ does the same. The two small segments removed from this sector each have area $\frac12r^2(\pi/3-\sin(\pi/3))$. Hence the shaded area is