图中所示的曲线 $y=2(2x-3)^4$ 和 $y=(2x-3)^2+1$ 相交于点 $A$ 和 $B$。

(a) 使用代换 $u=2x-3$，通过计算求出点 $A$ 和 $B$ 的坐标。

(b) 求阴影区域面积的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

按题意设 $u=2x-3$。交点方程是关于 $u^2$ 的二次方程，只有非负的 $u^2$ 可以保留。

Equating the heights gives $2u^4=u^2+1$, or

Hence $u=-1$ or $1$, giving $x=1$ or $2$. The common height is $2$, so $A=(1,2)$ and $B=(2,2)$.

从图中判定上方曲线，用上下两条曲线的纵坐标之差积分。保留 $2x-3$ 的形式直接求原函数。

The shaded area is

也可以沿用 (a) 的代换。记得把积分端点和微分同时改成新变量。

With $u=2x-3$, we have $\mathrm{d}x=\tfrac12\mathrm{d}u$ and the endpoints are $-1$ and $1$. Thus

where the second equality uses the even integrand.