(a) 将 $4x^2-12x+13$ 写成 $(2x+a)^2+b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

函数 $\mathrm{f}$ 定义为 $\mathrm{f}(x)=4x^2-12x+13$，其中 $p<x<q$，$p$ 和 $q$ 为常数。函数 $\mathrm{g}$ 定义为 $\mathrm{g}(x)=3x+1$，其中 $x<8$。

(b) 已知可以构成复合函数 $\mathrm{gf}$，求 $p$ 的最小可能值和 $q$ 的最大可能值。

(c) 求 $\mathrm{gf}(x)$ 的表达式。

函数 $\mathrm{h}$ 定义为 $\mathrm{h}(x)=4x^2-12x+13$，其中 $x<0$。

(d) 求 $\mathrm{h}^{-1}(x)$ 的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

展开 $(2x+a)^2$ 并比较一次项，然后补足常数项。

To match the linear coefficient, $4a=-12$, so $a=-3$. The constant term is then $9+b$, giving $b=4$. Therefore $4x^2-12x+13=(2x-3)^2+4$.

复合函数要求 $\mathrm f$ 的每个输出都落在 $\mathrm g$ 的定义域内。用配方结果解严格不等式。

The requirement is $\mathrm f(x)<8$. This gives

The largest allowable open interval is $(1/2,5/2)$, so the least $p$ is $1/2$ and the greatest $q$ is $5/2$.

把整个二次式代入 $\mathrm g$，再展开合并。

The composition is

利用配方解出输入。原定义域 $x<0$ 决定开平方时要取负号。

Let $y=(2x-3)^2+4$ with $x<0$. Then $2x-3<0$, so $2x-3=-\sqrt{y-4}$. Thus

The domain follows since $2x-3<-3$ on the original domain, and the quadratic takes every value greater than $13$ there.