点 $A$、$B$ 和 $C$ 的坐标分别为 $(6,4)$、$(p,7)$ 和 $(14,18)$，其中 $p$ 为常数。直线 $AB$ 垂直于直线 $BC$。

(a) 已知 $p<10$，求 $p$ 的值。

一个圆经过点 $A$、$B$ 和 $C$。

(b) 求这个圆的方程。

(c) 求这个圆在 $C$ 点处的切线方程，答案写成 $dx+ey+f=0$ 的形式，其中 $d$、$e$ 和 $f$ 为整数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把垂直条件写成两个方向向量的点积为零。解出两个横坐标后，用 $p<10$ 筛选。

The vectors $\overrightarrow{AB}=(p-6,3)$ and $\overrightarrow{BC}=(14-p,11)$ are perpendicular, so $(p-6)(14-p)+33=0$. This simplifies to

Since $p<10$, we get $p=3$.

也可以用直角三角形的勾股关系，直接把三个边长的平方代入。

Because the angle at $B$ is right, $AB^2+BC^2=AC^2$. Thus

This simplifies to $(p-3)(p-17)=0$. The condition $p<10$ gives $p=3$.

两条直线均有斜率时，垂直条件可写成斜率乘积为 $-1$。先检查分母为零的特殊情形，再清分母求 $p$。

If $p=6$, $AB$ is vertical but $BC$ is not horizontal. If $p=14$, $BC$ is vertical but $AB$ is not horizontal. Neither case gives perpendicular lines. Otherwise,

Therefore $(p-6)(14-p)=-33$, giving $p^2-20p+51=0$. Its roots are $3$ and $17$; since $p<10$, we obtain $p=3$.

圆周角 $ABC$ 是直角，所以 $AC$ 是直径。直径中点是圆心。

The centre is the midpoint of $A$ and $C$, namely $(10,11)$. The squared radius is $(14-10)^2+(18-11)^2=65$. Hence the equation is

先求从圆心到 $C$ 的半径斜率。切线取负倒数斜率并通过 $C$。

The radius to $C$ has gradient $7/4$, so the tangent has gradient $-4/7$. Its equation is

点 $C$ 位于圆的上半部，可把圆方程写成上半圆的显式函数，再求该点的切线斜率。

Near $C=(14,18)$, the upper semicircle has equation

Differentiating gives

At $C$, the gradient is $-4/7$. Thus the tangent is $y-18=-4(x-14)/7$, or $4x+7y-182=0$.