题目
Problem
(a) Verify the identity ( 2 x − 1 ) ( 4 x 2 + 2 x − 1 ) ≡ 8 x 3 − 4 x + 1 (2x-1)(4x^2+2x-1)\equiv 8x^3-4x+1 ( 2 x − 1 ) ( 4 x 2 + 2 x − 1 ) ≡ 8 x 3 − 4 x + 1
(1)
(b) Prove the identity
tan 2 θ + 1 tan 2 θ − 1 ≡ 1 1 − 2 cos 2 θ . \frac{\tan^2\theta+1}{\tan^2\theta-1}\equiv\frac{1}{1-2\cos^2\theta}. tan 2 θ − 1 tan 2 θ + 1 ≡ 1 − 2 cos 2 θ 1 . (3)
(c) Using the results of (a) and (b), solve the equation
tan 2 θ + 1 tan 2 θ − 1 = 4 cos θ , \frac{\tan^2\theta+1}{\tan^2\theta-1}=4\cos\theta, tan 2 θ − 1 tan 2 θ + 1 = 4 cos θ , for 0 ∘ ≤ θ ≤ 180 ∘ 0^\circ\leq\theta\leq180^\circ 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘
(5)
题目中文翻译
(a) 验证恒等式 ( 2 x − 1 ) ( 4 x 2 + 2 x − 1 ) ≡ 8 x 3 − 4 x + 1 (2x-1)(4x^2+2x-1)\equiv 8x^3-4x+1 ( 2 x − 1 ) ( 4 x 2 + 2 x − 1 ) ≡ 8 x 3 − 4 x + 1
(1)
(b) 证明恒等式
tan 2 θ + 1 tan 2 θ − 1 ≡ 1 1 − 2 cos 2 θ . \frac{\tan^2\theta+1}{\tan^2\theta-1}\equiv\frac{1}{1-2\cos^2\theta}. tan 2 θ − 1 tan 2 θ + 1 ≡ 1 − 2 cos 2 θ 1 . (3)
(c) 利用 (a) 和 (b) 的结果，解方程
tan 2 θ + 1 tan 2 θ − 1 = 4 cos θ , \frac{\tan^2\theta+1}{\tan^2\theta-1}=4\cos\theta, tan 2 θ − 1 tan 2 θ + 1 = 4 cos θ , 其中 0 ∘ ≤ θ ≤ 180 ∘ 0^\circ\leq\theta\leq180^\circ 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘
(5)
原卷通用作答要求
Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.
You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.
Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.
请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。
解答
(a)
解法一
思路
展开
展开两个因式，合并同类项，检查二次项是否相消。
答题过程
展开
Expanding gives
( 2 x − 1 ) ( 4 x 2 + 2 x − 1 ) = 8 x 3 + 4 x 2 − 2 x − 4 x 2 − 2 x + 1 = 8 x 3 − 4 x + 1. \begin{align*}
(2x-1)(4x^2+2x-1)=&\,8x^3+4x^2-2x-4x^2-2x+1\\
=&\,8x^3-4x+1.
\end{align*} ( 2 x − 1 ) ( 4 x 2 + 2 x − 1 ) = = 8 x 3 + 4 x 2 − 2 x − 4 x 2 − 2 x + 1 8 x 3 − 4 x + 1.
(b)
解法一
思路
展开
把正切平方写成正弦平方与余弦平方之比。消去复分式后用平方关系化简。
答题过程
展开
On the common domain,
tan 2 θ + 1 tan 2 θ − 1 = sin 2 θ + cos 2 θ sin 2 θ − cos 2 θ = 1 1 − cos 2 θ − cos 2 θ = 1 1 − 2 cos 2 θ . \begin{align*}
&\,\frac{\tan^2\theta+1}{\tan^2\theta-1}\\
=&\,\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin^2\theta-\cos^2\theta}\\
=&\,\frac1{1-\cos^2\theta-\cos^2\theta}\\
=&\,\frac1{1-2\cos^2\theta}.
\end{align*} = = = tan 2 θ − 1 tan 2 θ + 1 sin 2 θ − cos 2 θ sin 2 θ + cos 2 θ 1 − cos 2 θ − cos 2 θ 1 1 − 2 cos 2 θ 1 .
解法二
思路
展开
也可以用 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta 1 + tan 2 θ = sec 2 θ
答题过程
展开
The fraction equals sec 2 θ / ( sec 2 θ − 2 ) \sec^2\theta/(\sec^2\theta-2) sec 2 θ / ( sec 2 θ − 2 ) sec 2 θ \sec^2\theta sec 2 θ 1 / ( 1 − 2 cos 2 θ ) 1/(1-2\cos^2\theta) 1/ ( 1 − 2 cos 2 θ )
(c)
解法一
思路
展开
用 (b) 消去正切，再用 (a) 分解关于 cos θ \cos\theta cos θ
答题过程
展开
Put u = cos θ u=\cos\theta u = cos θ 1 = 4 u ( 1 − 2 u 2 ) 1=4u(1-2u^2) 1 = 4 u ( 1 − 2 u 2 ) 8 u 3 − 4 u + 1 = 0 8u^3-4u+1=0 8 u 3 − 4 u + 1 = 0
( 2 u − 1 ) ( 4 u 2 + 2 u − 1 ) = 0. (2u-1)(4u^2+2u-1)=0. ( 2 u − 1 ) ( 4 u 2 + 2 u − 1 ) = 0. Thus u = 1 / 2 u=1/2 u = 1/2 u = ( − 1 ± 5 ) / 4 u=(-1\pm\sqrt5)/4 u = ( − 1 ± 5 ) /4 0 ∘ ≤ θ ≤ 180 ∘ 0^\circ\le\theta\le180^\circ 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘ 60.0 ∘ 60.0^\circ 60. 0 ∘ 72.0 ∘ 72.0^\circ 72. 0 ∘ 144.0 ∘ 144.0^\circ 144. 0 ∘ cos θ ≠ 0 \cos\theta\ne0 cos θ = 0 1 − 2 cos 2 θ ≠ 0 1-2\cos^2\theta\ne0 1 − 2 cos 2 θ = 0
