题目
Problem
Functions f \mathrm{f} f g \mathrm{g} g
f ( x ) = ( x + a ) 2 − a for x ≤ − a , g ( x ) = 2 x − 1 for x ∈ R , \begin{align*}
\mathrm{f}(x)=&\,(x+a)^2-a\quad\text{for }x\leq-a,\\
\mathrm{g}(x)=&\,2x-1\quad\text{for }x\in\mathbb{R},
\end{align*} f ( x ) = g ( x ) = ( x + a ) 2 − a for x ≤ − a , 2 x − 1 for x ∈ R , where a a a
(a) Find an expression for f − 1 ( x ) \mathrm{f}^{-1}(x) f − 1 ( x )
(3)
(b) (i) State the domain of the function f − 1 \mathrm{f}^{-1} f − 1
(1)
(ii) State the range of the function f − 1 \mathrm{f}^{-1} f − 1
(1)
(c) Given that a = 7 2 a=\dfrac{7}{2} a = 2 7 g f ( x ) = 0 \mathrm{gf}(x)=0 gf ( x ) = 0
(3)
题目中文翻译
函数 f \mathrm{f} f g \mathrm{g} g
f ( x ) = ( x + a ) 2 − a 其中 x ≤ − a , g ( x ) = 2 x − 1 其中 x ∈ R , \begin{align*}
\mathrm{f}(x)=&\,(x+a)^2-a\quad\text{其中 }x\leq-a,\\
\mathrm{g}(x)=&\,2x-1\quad\text{其中 }x\in\mathbb{R},
\end{align*} f ( x ) = g ( x ) = ( x + a ) 2 − a 其中 x ≤ − a , 2 x − 1 其中 x ∈ R , 其中 a a a
(a) 求 f − 1 ( x ) \mathrm{f}^{-1}(x) f − 1 ( x )
(3)
(b) (i) 写出函数 f − 1 \mathrm{f}^{-1} f − 1
(1)
(ii) 写出函数 f − 1 \mathrm{f}^{-1} f − 1
(1)
(c) 已知 a = 7 2 a=\dfrac{7}{2} a = 2 7 g f ( x ) = 0 \mathrm{gf}(x)=0 gf ( x ) = 0
(3)
原卷通用作答要求
Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.
You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.
Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.
请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。
解答
(a)
解法一
思路
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由定义域可知 x + a ≤ 0 x+a\le0 x + a ≤ 0
答题过程
展开
For y = ( x + a ) 2 − a y=(x+a)^2-a y = ( x + a ) 2 − a x ≤ − a x\le-a x ≤ − a x + a = − y + a x+a=-\sqrt{y+a} x + a = − y + a
f − 1 ( x ) = − a − x + a . \mathrm f^{-1}(x)=-a-\sqrt{x+a}. f − 1 ( x ) = − a − x + a .
(b)(i)
解法一
思路
展开
反函数的定义域是原函数的值域。看平方项能取到的最小值。
答题过程
展开
The minimum of f \mathrm f f − a -a − a x = − a x=-a x = − a ( x + a ) 2 (x+a)^2 ( x + a ) 2 [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ ) f − 1 \mathrm f^{-1} f − 1 x ≥ − a x\ge-a x ≥ − a
(b)(ii)
解法一
思路
展开
反函数的输出是原函数的输入，所以直接使用原函数定义域。
答题过程
展开
The range of f − 1 \mathrm f^{-1} f − 1 y ≤ − a y\le-a y ≤ − a
(c)
解法一
思路
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从外层函数开始求解。先确定内层函数值，再用原函数定义域筛选平方根。
答题过程
展开
Since g ( f ( x ) ) = 2 f ( x ) − 1 \mathrm g(\mathrm f(x))=2\mathrm f(x)-1 g ( f ( x )) = 2 f ( x ) − 1 f ( x ) = 1 / 2 \mathrm f(x)=1/2 f ( x ) = 1/2
( x + 7 / 2 ) 2 − 7 / 2 = 1 / 2 ⟹ ( x + 7 / 2 ) 2 = 4. (x+7/2)^2-7/2=1/2
\quad\Longrightarrow\quad
(x+7/2)^2=4. ( x + 7/2 ) 2 − 7/2 = 1/2 ⟹ ( x + 7/2 ) 2 = 4. The domain is x ≤ − 7 / 2 x\le-7/2 x ≤ − 7/2 x + 7 / 2 = − 2 x+7/2=-2 x + 7/2 = − 2 x = − 11 / 2 x=-11/2 x = − 11/2
