一个等差数列的首项为 $5$，公差为 $d$，其中 $d>0$。该等差数列的第 2 项、第 5 项和第 11 项按此顺序构成一个等比数列的前三项。

(a) 求 $d$ 的值。

(b) 该等差数列前 $77$ 项的和记为 $S_{77}$。该等比数列前 $10$ 项的和记为 $G_{10}$。

求 $S_{77}-G_{10}$ 的值。

先写出等差数列中的三项。它们也是等比数列的前三项，因此中间项的平方等于两端项的积。

The three terms are $5+d$, $5+4d$ and $5+10d$. Hence

Since $d>0$, the solution is $d=\frac52$.

也可以先求等比数列的公比：等比数列的相邻项之差，同样按这个公比变化。

If the common ratio is $R$, multiplying $T_2-T_1$ by $R$ gives $T_3-T_2$. Here the differences are $3d$ and $6d$, so $R=2$ since $d>0$. Therefore $5+4d=2(5+d)$ and $d=\frac52$.

分别用等差和等比数列的求和公式。等比数列的首项是等差数列的第二项。

With $d=\frac52$,

The geometric progression starts with $\frac{15}2$ and has ratio $2$, so

Thus $S_{77}-G_{10}=\frac{55}2=27.5$.