函数 $\mathrm{f}$ 定义为 $\mathrm{f}(x)=3+6x-2x^2$，其中 $x\in\mathbb{R}$。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为 $a-b(x-c)^2$ 的形式，其中 $a$、$b$、$c$ 为常数，并写出 $\mathrm{f}$ 的值域。

(b) 图像 $y=\mathrm{f}(x)$ 经过关于某一个坐标轴的反射，再经过平移，变换为图像 $y=\mathrm{h}(x)$。已知 $y=\mathrm{h}(x)$ 的图像在原点处有一个最小点。

说明所涉及的反射和平移。

函数 $\mathrm{g}$ 定义为 $\mathrm{g}(x)=3+6x-2x^2$，其中 $x\leq 0$。

(c) 画出 $y=\mathrm{g}(x)$ 的图像，并解释为什么 $\mathrm{g}$ 是一一函数。你不需要求出与坐标轴交点的坐标。

(d) 在 (c) 中的图上画出 $y=\mathrm{g}^{-1}(x)$ 的图像，并求 $\mathrm{g}^{-1}(x)$ 的表达式。你应当恰当地标注图中的两条曲线，并标出任何相关的镜像直线。

提出 $-2$ 后配方。平方项被减去，所以顶点高度是最大值。

Thus $a=\frac{15}2$, $b=2$ and $c=\frac32$. The range is $(-\infty,\frac{15}2]$.

要从开口向下变成开口向上，须关于 $x$ 轴反射。反射后再把新顶点移到原点。

Reflecting in the $x$-axis sends the vertex $(\frac32,\frac{15}2)$ to $(\frac32,-\frac{15}2)$ and makes it a minimum. Then translate by $\begin{pmatrix}-\frac32\\\frac{15}2\end{pmatrix}$, which sends the minimum to the origin.

只画 $x\le0$ 的左侧部分。它始终上升，因此任意水平线至多和图像相交一次。

Sketch the increasing, concave-down part of the parabola for $x\le0$, ending at $(0,3)$. It rises from the third quadrant into the second. Since $g'(x)=6-4x>0$ for $x\le0$, every output is attained at most once. Hence $g$ is one-to-one. The combined sketch is shown in (d).

在 (c) 的同一张图上画出镜像直线 $y=x$。求解析式时，原定义域 $x\le0$ 决定应选配方后的哪一个平方根。

Reflect the restricted branch in $y=x$ and label the graphs $y=g(x)$ and $y=g^{-1}(x)$. The endpoint $(0,3)$ reflects to $(3,0)$.

For the inverse expression, write $y=\frac{15}2-2(x-\frac32)^2$. Since $x\le0$, we have $x-\frac32<0$, giving

The range of $g$ is $(-\infty,3]$, so