一条曲线满足 $\dfrac{dy}{dx}=4x-3\sqrt{x}+1$。

(a) 求曲线上斜率为 $\dfrac{11}{2}$ 的点的 $x$ 坐标。

(b) 已知该曲线经过点 $(4,11)$，求曲线方程。

梯度条件同时含有 $x$ 和 $\sqrt x$。令 $u=\sqrt x$ 后，就能解一个普通的二次方程。

Setting the gradient equal to $11/2$ and putting $u=\sqrt x\ge0$ gives

Only $u=\frac32$ is nonnegative, so $x=\frac94$.

也可以把根式单独移到一边，再平方消去它。平方会丢掉原来的符号限制，因此要回代筛选。

The equation becomes $3\sqrt x=4x-\frac92$, so $x\ge\frac98$. Squaring gives

The candidate $x=\frac9{16}$ violates $x\ge\frac98$. The remaining candidate $x=\frac94$ gives $3\sqrt x=\frac92=4x-\frac92$, so it is a solution.

逐项积分，再用曲线经过的点确定积分常数。

Integrating the gradient gives

Since $(4,11)$ is on the curve, $11=32-16+4+C$, so $C=-9$. Thus the curve is $y=2x^2-2x^{3/2}+x-9$.