题目

Problem

The diagram shows part of the curve with equation $y=\dfrac{12}{\sqrt[3]{2x+1}}$ . The point $A$ on the curve has coordinates $\left(\dfrac{7}{2},6\right)$ .

(a) Find the equation of the tangent to the curve at $A$ . Give your answer in the form $y=mx+c$ .

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(b) Find the area of the region bounded by the curve and the lines $x=0$ , $x=\dfrac{7}{2}$ and $y=0$ .

[4]

题目中文翻译

图中显示曲线 $y=\dfrac{12}{\sqrt[3]{2x+1}}$ 的一部分。曲线上的点 $A$ 的坐标为 $\left(\dfrac{7}{2},6\right)$ 。

(a) 求曲线在 $A$ 处的切线方程。答案写成 $y=mx+c$ 的形式。

(b) 求由曲线以及直线 $x=0$ 、 $x=\dfrac{7}{2}$ 、 $y=0$ 围成的区域面积。

解答

(a)

解法一

思路

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把立方根分母改成负指数，再用链式法则求导。代入切点求斜率，并整理成题给形式。

答题过程

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For $y=12(2x+1)^{-1/3}$ ,

y'=-8(2x+1)^{-4/3}.

At $x=\frac72$ , the gradient is $-8\cdot8^{-4/3}=-\frac12$ . The tangent satisfies

y-6=-\frac12\Big(x-\frac72\Big), \qquad y=-\frac12x+\frac{31}4.

(b)

解法一

思路

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在指定区间上曲线位于 $x$ 轴上方。积分时，内层 $2x+1$ 的导数要计入系数。

答题过程

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The required area is

\begin{align*} &\,\int_0^{7/2}12(2x+1)^{-1/3}\,\mathrm{d}x\\ =&\,\Big[9(2x+1)^{2/3}\Big]_0^{7/2}\\ =&\,9(4-1)=27. \end{align*}

CIE 9709 2024 November Paper 11 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程