一条曲线的方程为 $y=4+5x+6x^2-3x^3$。

(a) 求使得 $x$ 增大时 $y$ 减小的 $x$ 的取值集合。

(b) 已知 $y=9x+k$ 是该曲线的一条切线。

求常数 $k$ 的值。

找一阶导数为负的区间。导数是开口向下的二次式，因式分解后可以看出符号变化。

Differentiating gives

The zeros are $-\frac13$ and $\frac53$. The leading coefficient is negative, so $y'<0$ outside the two zeros. Thus $y$ decreases for $x<-\frac13$ or $x>\frac53$.

已知切线斜率为 $9$，先令导数等于 $9$ 求切点横坐标。再用切点位于切线上的条件求截距。

The slope condition is $5+12x-9x^2=9$, so $(3x-2)^2=0$ and $x=\frac23$. Substituting into the curve gives

Since this point lies on $y=9x+k$, we have $k=\frac{82}9-6=\frac{28}9$.