函数 $\mathrm{f}$ 的定义域为 $x>0$，且 $\mathrm{f}'(x)=8(2x-3)^{\frac{1}{3}}-10x^{\frac{2}{3}}$。已知方程为 $y=\mathrm{f}(x)$ 的曲线经过点 $(1,0)$。

(a) 求曲线在点 $(1,0)$ 处的法线方程。

(b) 求 $\mathrm{f}(x)$。

已知方程 $\mathrm{f}'(x)=0$ 可以表示为

(c) 判断 $\mathrm{f}$ 是增函数、减函数还是都不是，并清楚说明理由。

在 $x=1$ 处先算切线斜率。立方根保留符号，因此 $(-1)^{1/3}=-1$。

We have $f'(1)=8(-1)-10=-18$. The normal through $(1,0)$ has gradient $1/18$, so its equation is $y=\frac1{18}(x-1)$.

逐项积分。第一项的内层为 $2x-3$，积分时要除以它的导数 $2$，再用已知点求常数。

Integrating gives

with fractional powers taken using the real cube root. The first term is differentiable even at $2x-3=0$, where its derivative is zero. Since $f(1)=0$, we have $3-6+C=0$, so

先用题给的二次方程判断导数是否有零点。导数在 $x>0$ 连续，因此没有零点就不能变号；用 $x=1$ 处的值确定符号。

The discriminant of $125x^2-128x+192=0$ is

Consequently $f'(x)$ has no zero. The real fractional powers make $f'$ continuous throughout $x>0$. Since $f'(1)=-18<0$, it is negative everywhere on this interval. Therefore $f$ is strictly decreasing.