题目

Problem

The equation of a curve is $y=2x^2-3$ . Two points $A$ and $B$ with $x$ -coordinates $2$ and $(2+h)$ respectively lie on the curve.

(a) Find and simplify an expression for the gradient of the chord $AB$ in terms of $h$ .

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(b) Explain how the gradient of the curve at the point $A$ can be deduced from the answer to part (a), and state the value of this gradient.

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题目中文翻译

一条曲线的方程为 $y=2x^2-3$ 。点 $A$ 和点 $B$ 在曲线上，它们的 $x$ 坐标分别为 $2$ 和 $(2+h)$ 。

(a) 求弦 $AB$ 的斜率关于 $h$ 的表达式，并化简。

(b) 说明如何由 (a) 的答案推出曲线在点 $A$ 处的斜率，并写出这个斜率的值。

解答

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用两点纵坐标之差除以横坐标之差。先展开分子、提出 $h$ ，再约分。

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Let $f(x)=2x^2-3$ . As $f(2)=5$ , for $h\ne0$ the chord gradient is

\begin{align*} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} =&\,\frac{2(2+h)^2-8}{h}\\ =&\,\frac{8h+2h^2}{h}=8+2h. \end{align*}

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让 $B$ 沿曲线趋近于 $A$ ，割线的斜率极限就是切线斜率。

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As $B$ approaches $A$ , $h$ tends to zero. Thus the gradient of the curve at $A$ is $\lim_{h\to0}(8+2h)=8$ .