函数 $\mathrm{f}$ 定义为 $\mathrm{f}(x)=\dfrac{2x+1}{2x-1}$，其中 $x<\dfrac{1}{2}$。

(a) (i) 写出 $\mathrm{f}(-1)$ 的值。

(ii) 图中显示 $y=\mathrm{f}(x)$ 的图像。在该图上画出 $y=\mathrm{f}^{-1}(x)$ 的图像，并标出任何相关的镜像直线。

(iii) 求 $\mathrm{f}^{-1}(x)$ 的表达式，并写出函数 $\mathrm{f}^{-1}$ 的定义域。

函数 $\mathrm{g}$ 定义为 $\mathrm{g}(x)=3x+2$，其中 $x\in\mathbb{R}$。

(b) 解方程 $\mathrm{f}(x)=\mathrm{gf}\left(\dfrac{1}{4}\right)$。

直接把 $x=-1$ 代入，分子和分母都是负数。

反函数把每个点的横、纵坐标交换。画出镜像直线 $y=x$，再把题图中的曲线反射过去。

Draw the mirror line $y=x$ and reflect the original branch across it. For example, $(-1,\frac13)$ becomes $(\frac13,-1)$, and $(0,-1)$ becomes $(-1,0)$. The original asymptotes $x=\frac12$ and $y=1$ reflect to $y=\frac12$ and $x=1$, respectively. The reflected branch lies to the left of $x=1$ and below $y=\frac12$.

令 $y=f(x)$，交叉相乘后把含 $x$ 的项收在一起。再从原函数的值域确定反函数定义域。

From $y(2x-1)=2x+1$ we obtain $2x(y-1)=y+1$. Also $f(x)=1+2/(2x-1)<1$ for $x<\frac12$. Conversely, every $y<1$ gives exactly one $x=\frac12+1/(y-1)<\frac12$. Hence

先由内到外计算 $gf(\frac14)$，再求使 $f(x)$ 等于该值的输入。

We have $f(\frac14)=-3$, so $g(f(\frac14))=3(-3)+2=-7$. Therefore

This gives $x=\frac38$, which satisfies $x<\frac12$.

也可以把右边算出的 $-7$ 直接代入 (a)(iii) 的反函数。

As $g(f(\frac14))=g(-3)=-7$, the equation is $f(x)=-7$. The value $-7$ belongs to the range of $f$, so