图中显示一块金属板 $OABCDEF$，它由两个以 $O$ 为圆心的圆的扇形组成。扇形 $AOB$ 和 $EOF$ 的半径为 $r$ cm，扇形 $COD$ 的半径为 $2r$ cm。角 $AOB=$ 角 $EOF=\theta$ 弧度，角 $COD=2\theta$ 弧度。

已知这块板的周长为 $14$ cm，面积为 $10\text{ cm}^2$。

已知 $r>\dfrac{3}{2}$ 且 $\theta<\dfrac{3}{4}$，求 $r$ 和 $\theta$ 的值。

按外边界把三段圆弧与四条长度为 $r$ 的直边相加。面积则由三个扇形组成。由面积表示 $\theta$，再代入周长式。

The three arcs have lengths $r\theta$, $4r\theta$ and $r\theta$. The four exposed straight edges each have length $r$, because the two radial steps are $2r-r$. Hence

The three sector areas sum to $\frac12r^2\theta+\frac12(2r)^2(2\theta)+\frac12r^2\theta=5r^2\theta$. Thus $5r^2\theta=10$ and $\theta=2/r^2$. Substitution gives

Only $r=2$ satisfies $r>\frac32$. It gives $\theta=\frac12<\frac34$. Thus the radius is $2$ cm and the angle is $\frac12$ radian.

也可以从周长式解出 $r$，再代入面积式。这样先求的是圆心角。

The perimeter gives $r=14/(4+6\theta)$. Substituting into $5r^2\theta=10$ gives

The restriction $\theta<\frac34$ excludes $\frac89$, so $\theta=\frac12$. Hence $r=14/7=2$.