一个圆的方程为 $x^2+y^2+px+2y+q=0$，其中 $p$ 和 $q$ 为常数。

(a) 将方程表示为 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 的形式，其中 $a$ 要用 $p$ 表示，$r^2$ 要用 $p$ 和 $q$ 表示。

直线 $x+2y=10$ 是该圆在点 $A(4,3)$ 处的切线。

(b) (i) 求该圆在点 $A$ 处的法线方程。

(ii) 求 $p$ 和 $q$ 的值。

分别对含 $x$ 的项和含 $y$ 的项配方，再把常数移到等号右侧。

Completing the squares gives

Thus $a=-p/2$, $b=-1$ and $r^2=p^2/4+1-q$.

把切线改写为斜截式，取斜率的负倒数。法线通过切点 $A$。

The line $x+2y=10$ has gradient $-\frac12$. The normal has gradient $2$, so its equation through $(4,3)$ is $y-3=2(x-4)$, or $y=2x-5$.

法线经过圆心，而 (a) 已经给出圆心纵坐标。求出横坐标后就能确定 $p$，再用 $A$ 的坐标求 $q$。

The centre has $y=-1$, and lies on $y=2x-5$. This gives $x=2$, so $-p/2=2$ and $p=-4$. Since $A=(4,3)$ lies on the circle,

Hence $q=-15$.

直线与圆相切，联立后得到的二次方程在切点处有重根。利用已知切点可以直接比较系数。

Substitute $y=5-\frac12x$ into the circle equation to obtain

At tangency its only root is the double root $x=4$, so the polynomial is $\frac54(x-4)^2=\frac54x^2-10x+20$. Comparing coefficients gives $p-6=-10$ and $35+q=20$. Hence $p=-4$ and $q=-15$.