一条曲线的方程为 $y=\dfrac{1}{2}k^2x^2-2kx+2$，一条直线的方程为 $y=kx+p$，其中 $k$ 和 $p$ 是常数，且 $0<k<1$。

(a) 已知曲线与直线的一个交点坐标为 $\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2}\right)$。

求 $k$ 和 $p$ 的值，并求另一个交点的坐标。

(b) 改为已知该直线与曲线不相交。

求 $p$ 的所有可能取值。

先把已知交点代入曲线，确定 $k$。用 $u=kx$ 简化代数，再用直线方程确定 $p$。

Write $u=kx$. Then the curve is $y=\frac12(u-2)^2$. At $(\frac52,\frac12)$, we have $(u-2)^2=1$, so $u=1$ or $3$. This would give $k=\frac25$ or $\frac65$. Only $k=\frac25$ is in $(0,1)$. The line then gives $\frac12=1+p$, so $p=-\frac12$.

The intersections satisfy

The other intersection has $u=5$, hence $x=5/(\frac25)=\frac{25}2$ and $y=5-\frac12=\frac92$. It is $\Big(\frac{25}2,\frac92\Big)$.

联立后，若关于 $x$ 的二次方程没有实根，直线和曲线就不相交。注意 $k^2>0$，判断判别式符号时可以约掉它。

The equation of intersection is

Its discriminant is

With $k^2>0$, it is negative precisely when $5+2p<0$. Thus the required set is $p<-\frac52$.