一条曲线的方程为 $y = kx^{\frac{1}{2}} - 4x^2 + 2$，其中 $k$ 是常数。

(a) 用 $k$ 表示 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

(b) 已知 $k = 2$。

求驻点的坐标，并判断其性质。

(c) 曲线上的点 $A$ 和 $B$ 的 $x$ 坐标分别为 0.25 和 1。对于另一个 $k$ 的值，曲线在 $A$ 和 $B$ 点处的切线相交于一个 $x$ 坐标为 0.6 的点。

求这个 $k$ 的值。

对幂函数逐项求导，常数 $k$ 保留。分数指数求导后变为负指数。

For $x>0$,

代入 $k=2$，令一阶导数为零。找到横坐标后，回代原式求纵坐标，再用二阶导数判断。

For $k=2$, the stationary-point condition is $x^{-1/2}=8x$, so $x^{3/2}=\frac18$ and $x=\frac14$. The height is

The second derivative is $-\frac12x^{-3/2}-8<0$ for $x>0$, so $\Big(\frac14,\frac{11}4\Big)$ is a local maximum.

交点的横坐标已知，所以只要把它代入两条切线，并令得到的两个纵坐标相等。

At $x=\frac14$, the height is $\frac k2+\frac74$ and the gradient is $k-2$. At $x=1$, the height is $k-2$ and the gradient is $\frac k2-8$. At their common horizontal coordinate $\frac35$, the two tangent heights are therefore equal:

This simplifies to $\frac{17k+21}{20}=\frac{16k+24}{20}$, so $k=3$. The slopes at this value are distinct, confirming the tangents meet at one point.