题目

Problem

(a) Find the coefficients of $x^3$ and $x^4$ in the expansion of $(3 - ax)^5$ , where $a$ is a constant. Give your answers in terms of $a$ .

[3]

(b) Given that the coefficient of $x^4$ in the expansion of $(ax + 7)(3 - ax)^5$ is 240, find the positive value of $a$ .

[3]

题目中文翻译

(a) 求 $(3 - ax)^5$ 展开式中 $x^3$ 和 $x^4$ 的系数，其中 $a$ 是常数。答案用 $a$ 表示。

(b) 已知 $(ax + 7)(3 - ax)^5$ 展开式中 $x^4$ 的系数为 240，求 $a$ 的正值。

解答

展开

选择 $k$ 个 $-ax$ 就得到 $x^k$ 项。写二项式系数时保留负号，再判断奇偶次幂的符号。

展开

The $x^3$ and $x^4$ terms are

\begin{align*} \binom53 3^2(-ax)^3=&\,-90a^3x^3,\\ \binom54 3(-ax)^4=&\,15a^4x^4. \end{align*}

The coefficients are $-90a^3$ and $15a^4$ , respectively.

展开

乘积中的 $x^4$ 只来自 $ax$ 乘原展开式的三次项，以及 $7$ 乘原展开式的四次项。

展开

Using (a), the $x^4$ coefficient is

a(-90a^3)+7(15a^4)=15a^4.

Equating this to $240$ gives $a^4=16$ . The positive solution is $a=2$ .