图中显示一个金属板 $ABCDEF$，由五个部分组成。部分 $BCD$ 和 $DEF$ 是半圆。部分 $BAFO$ 是一个圆心为 $O$、半径为 20 cm 的扇形，且 $D$ 在这个圆上。部分 $OBD$ 和 $ODF$ 是三角形。角 $BOD$ 和 $DOF$ 都为 $\theta$ 弧度。

(a) 已知 $\theta = 1.2$，求金属板的面积。答案精确到 3 位有效数字。

(b) 改为已知每个半圆的面积为 $50\pi\text{ cm}^2$，求金属板的精确周长。

把金属板分成大扇形、两个等腰三角形和两个半圆。弦 $BD$ 的长度是半圆直径，因此用半个圆心角先求半圆半径。

The major sector has angle $2\pi-2(1.2)$. Its area is $200(2\pi-2.4)$. The triangles $OBD$ and $ODF$ together have area $400\sin(1.2)$.

Bisecting either isosceles triangle gives half the chord length $20\sin(0.6)$. This is the radius of each semicircle. The two semicircles together have area $\pi(20\sin(0.6))^2$. Hence the total area is

to three significant figures.

先从半圆面积求半径，再用弦的长度反推 $\theta$。周长只包括大圆弧和两个半圆弧。

If $\rho$ is the semicircle radius, $\frac12\pi\rho^2=50\pi$ gives $\rho=10$. Thus $BD=20$. As $OB=OD=20$, triangle $OBD$ is equilateral, so $\theta=\frac\pi3$. The major arc has length $20(2\pi-2\theta)=\frac{80\pi}3$. Each semicircular arc has length $10\pi$. The total perimeter is therefore