(a) 将 $3x^2 - 12x + 14$ 表示为 $3(x + a)^2 + b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为待求常数。

函数 $f(x) = 3x^2 - 12x + 14$ 定义在 $x \geq k$，其中 $k$ 是常数。

(b) 求使函数 $f^{-1}$ 存在的 $k$ 的最小值。

在本题余下部分，你应假设 $k$ 取 (b) 中求得的值。

(c) 求 $f^{-1}(x)$ 的表达式。

(d) 由此或用其他方法解方程 $ff(x) = 29$。

提出 $3$ 后对 $x^2-4x$ 配方，再调整常数项。

Completing the square gives

Thus $a=-2$ and $b=2$.

反函数存在要求原函数一一对应。若定义域从顶点左边开始，抛物线的对称点会给出重复的函数值。

The parabola is strictly increasing for $x\ge2$. If $k<2$, there are points $2-h$ and $2+h$ in the domain for sufficiently small $h>0$, with the same value of $f$. Thus the least possible value is $k=2$.

令 $y=f(x)$ 并反解 $x$。原定义域保证 $x-2\ge0$，所以开平方取非负根。

From $y=3(x-2)^2+2$ with $x\ge2$, we obtain $x=2+\sqrt{(y-2)/3}$. As the range of $f$ is $[2,\infty)$,

用 (c) 的反函数逐层撤销两次 $f$。由于值域包含在定义域里，两个复合方向都可以在此处使用。

Applying $f^{-1}$ to $f(f(x))=29$ gives

Applying $f^{-1}$ again gives $x=f^{-1}(5)=2+\sqrt{3/3}=3$. Indeed $f(3)=5$ and $f(5)=29$.

直接代入配方形式也能化简，因为 $f(x)-2$ 本身就是一个平方的倍数。

For $x\ge2$,

Setting this equal to $29$ gives $(x-2)^4=1$. The domain requires $x-2\ge0$, so $x=3$.