一个等比数列的首项为 $a$，公比为 $\cos\theta$，其中 $0<\theta<\frac{1}{2}\pi$。已知第二项为 8，第五项为 $\frac{1}{8}$。

(a) 求 $\theta$ 的值，答案精确到 3 位有效数字。

(b) 求无穷和的精确值。

第五项比第二项多乘三次公比。用两项相除消去首项，再用反余弦求角。

Let $r=\cos\theta$. Since the second and fifth terms are $ar=8$ and $ar^4=\frac18$,

As $0<\theta<\frac\pi2$, the solution is $\theta=\cos^{-1}(\frac14)\approx1.32$ radians to three significant figures.

沿用 (a) 的精确公比，用第二项求首项。公比的绝对值小于 $1$，所以可以求无穷和。

From $ar=8$ and $r=\frac14$, the first term is $a=32$. Since $|r|<1$, the exact sum to infinity is