在

$(px+3)^5-\left(x^3+\frac{p}{x}\right)^4$

的展开式中，$x^4$ 的系数为 216。

求正常数 $p$ 的值。

分别找出两个展开式的 $x^4$ 项。第二个展开式里，每把一个 $x^3$ 换成 $p/x$，$x$ 的幂次会减少 $4$。

In $(px+3)^5$, the $x^4$ term is $\binom54(px)^4\cdot3=15p^4x^4$. In the second expansion, choosing $k$ copies of $p/x$ gives exponent $3(4-k)-k=12-4k$. This equals $4$ when $k=2$, so its $x^4$ term is $\binom42(x^3)^2(p/x)^2=6p^2x^4$.

Subtracting the coefficients gives $15p^4-6p^2=216$. Dividing by $3$ and writing $u=p^2$ gives

Since $p>0$, we require $u>0$. Thus $u=4$ and $p=2$.