函数 $f$ 和 $g$ 定义为

$f(x)=(x+3)^2-12\quad\text{其中 }x\geq 0,$

$g(x)=2x-5\quad\text{其中 }x\in\mathbb{R}.$

(a) 写出 $f$ 的值域。

(b) 求 $f^{-1}(x)$ 的表达式。

(c) 解方程 $gf(x)=69$。

在定义域内 $x+3\ge3$。因此最小值要在端点 $x=0$ 处找。

For $x\ge0$, $x+3$ takes all values from $3$ upwards. Thus $(x+3)^2-12$ takes all values from $3^2-12=-3$ upwards. The range is $[-3,\infty)$.

把 $y=f(x)$ 反解成 $x$。因为原定义域上 $x+3>0$，开平方只取正根。

From $y=(x+3)^2-12$, we get $x+3=\sqrt{y+12}$ since $x\ge0$. The inverse is

$gf(x)$ 表示先算 $f$ 再算 $g$。代入得到只含 $x$ 的方程，求根后检查 $x\ge0$。

We have $g(f(x))=2((x+3)^2-12)-5$. Thus

The two algebraic candidates are $x=4$ and $x=-10$. Only $x=4$ satisfies $x\ge0$.

也可以从外层开始逐步逆运算。先解出 $f(x)$，再用 (b) 的反函数求 $x$。

The equation $2f(x)-5=69$ gives $f(x)=37$. Since $37$ lies in the range of $f$, applying its inverse gives