题目

Problem

The diagram shows a sector of a circle with centre $O$ and radius $r$ cm. The shaded region is bounded by the chord $AB$ and the arc $AB$ . The size of angle $AOB$ is $\frac{2}{3}\pi$ radians.

(a) Show that the area of the shaded region is approximately $0.614r^2\text{ cm}^2$ .

[2]

It is given that the radius of the circle is increasing at a rate of $0.4\text{ cm s}^{-1}$ .

(b) (i) Find the rate of increase of the area of the shaded region at the instant when $r=20$ .

Give your answer correct to 2 significant figures.

[3]

(ii) Find the rate of increase of the length of the arc $AB$ . Give your answer correct to 2 significant figures.

[3]

题目中文翻译

图中显示一个圆心为 $O$ 、半径为 $r$ cm 的扇形。阴影区域由弦 $AB$ 和弧 $AB$ 围成。角 $AOB$ 的大小为 $\frac{2}{3}\pi$ 弧度。

(a) 证明阴影区域的面积约为 $0.614r^2\text{ cm}^2$ 。

已知该圆的半径正以 $0.4\text{ cm s}^{-1}$ 的速率增加。

(b) (i) 求当 $r=20$ 时，阴影区域面积的增加速率。答案精确到 2 位有效数字。

(ii) 求弧 $AB$ 长度的增加速率。答案精确到 2 位有效数字。

解答

(a)

解法一

思路

展开

阴影是弓形。用扇形面积减去三角形 $AOB$ 的面积，角度使用弧度。

答题过程

展开

The segment area is

\begin{align*} A=&\,\frac12r^2\cdot\frac{2\pi}3-\frac12r^2\sin\frac{2\pi}3\\ =&\,\Big(\frac\pi3-\frac{\sqrt3}4\Big)r^2 \approx0.614r^2\text{ cm}^2. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

面积随半径变化，半径又随时间变化。保留 (a) 的精确系数，用链式法则相乘。

答题过程

展开

Let $K=\frac\pi3-\frac{\sqrt3}4$ . Since $A=Kr^2$ ,

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} =2Kr\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}.

At $r=20$ and $\mathrm{d}r/\mathrm{d}t=0.4$ , the rate is $16K$ , or $9.8\text{ cm}^2\text{ s}^{-1}$ to two significant figures.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

圆心角固定，弧长与半径成正比，所以弧长的变化率也是半径变化率的固定倍数。

答题过程

展开

The arc length is $L=\frac{2\pi}3r$ . Therefore

\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} =\frac{2\pi}3\cdot0.4 \approx0.84\text{ cm s}^{-1}

to two significant figures.

CIE 9709 2025 Nov Paper 11 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程