图中显示曲线 $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$，以及坐标为 $\left(9,\frac{3}{2}\right)$ 的点 $P$。阴影区域由曲线以及直线 $x=0$ 和 $y=\frac{3}{2}$ 围成。

(a) 求阴影区域的面积。

(b) 将阴影区域绕 $y$ 轴旋转 $360^\circ$。

求所得立体的精确体积。

竖直切分时，阴影在水平线与曲线之间。从整个长方形面积中减去曲线下面的面积。

The horizontal boundary is at height $\frac32$ from $x=0$ to $x=9$. The shaded area is

也可以水平切分。把 $x$ 表成 $y$ 的函数后，左边界 $x=0$ 到曲线的距离就是每条横条的长度。

The curve $y=\frac12\sqrt x$ gives $x=4y^2$ for $y\ge0$. The horizontal width of the region is $4y^2$, so the area is

绕 $y$ 轴旋转后，水平截面是圆盘。半径等于曲线的横坐标 $x=4y^2$。

At height $y$, the disc has radius $4y^2$, so its area is $16\pi y^4$. The volume is