题目
Problem
(a) Express 9x2−36x+8 in the form p(x+q)2+r, where p, q and r are constants.
[2]
(b) Hence find the set of values of the constant k for which the equation 9x2−36x+8=k has no real roots.
[1]
(c) Find the exact roots of the equation 9x2−36x+8=−15.
[2]
题目中文翻译
(a) 将 9x2−36x+8 表示成 p(x+q)2+r 的形式，其中 p、q 和 r 是常数。
(b) 由此，求常数 k 的取值范围，使方程 9x2−36x+8=k 没有实根。
(c) 求方程 9x2−36x+8=−15 的精确根。
解答
(a)
解法一
思路
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提出 9 后，括号内一次项的系数是 −4。配成 (x−2)2 时要减掉多加的 4。
答题过程
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Completing the square gives
9x2−36x+8=9((x−2)2−4)+8=9(x−2)2−28.
Hence p=9, q=−2 and r=−28.
(b)
解法一
思路
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用 (a) 的配方结果找最小值。水平线低于这个最小值时，方程才没有实根。
答题过程
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From (a), 9(x−2)2−28 takes every value from −28 upwards. Thus there are no real roots exactly when k<−28.
(c)
解法一
思路
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用配方形式直接分离平方项，开平方时保留两个符号。
答题过程
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Solving 9(x−2)2−28=−15 gives 9(x−2)2=13. Hence
x=2−313orx=2+313.
