题目

Problem

Find the term independent of $x$ in the expansion of $\left(2x^2-\frac{3}{x}\right)^6$ .

[3]

题目中文翻译

求 $\left(2x^2-\frac{3}{x}\right)^6$ 的展开式中不含 $x$ 的项。

解答

展开

每选一次 $2x^2$ ，幂次加 $2$ ；每选一次 $-3/x$ ，幂次减 $1$ 。先让总幂次等于零，再计算系数。

展开

If $k$ factors supply $-3/x$ and the other $6-k$ supply $2x^2$ , the resulting term is

\binom6k 2^{6-k}(-3)^k x^{12-3k}.

The exponent is zero when $k=4$ . The constant term is therefore

\binom64 2^2(-3)^4=15\cdot4\cdot81=4860.