题目

Problem

The equation of a curve is such that $\frac{dy}{dx}=kx^3+\frac{2}{x^2}$ , where $k$ is a constant. The curve passes through the point $S(2,20)$ and the gradient of the curve at $S$ is $\frac{65}{2}$ .

(a) Find the value of $k$ .

[1]

(b) The coordinates of a point $T$ on the curve are $(1,t)$ .

Find the value of $t$ .

[5]

题目中文翻译

一条曲线满足 $\frac{dy}{dx}=kx^3+\frac{2}{x^2}$ ，其中 $k$ 是常数。该曲线经过点 $S(2,20)$ ，并且曲线在 $S$ 处的梯度为 $\frac{65}{2}$ 。

(a) 求 $k$ 的值。

(b) 曲线上一点 $T$ 的坐标为 $(1,t)$ 。

求 $t$ 的值。

解答

(a)

解法一

思路

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在导数式里代入点 $S$ 的横坐标，并令导数等于题给的斜率。

答题过程

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At $x=2$ ,

8k+\frac12=\frac{65}{2} \quad\Longrightarrow\quad 8k=32.

Thus $k=4$ .

(b)

解法一

思路

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先对导数积分，用 $S$ 确定积分常数，再求横坐标为 $1$ 时的函数值。两个点都在 $x>0$ 的区间上。

答题过程

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Using $k=4$ , integration on $x>0$ gives

y=\int(4x^3+2x^{-2})\,\mathrm{d}x=x^4-\frac2x+C.

Substituting $S=(2,20)$ gives $20=16-1+C$ , so $C=5$ . At $x=1$ , this gives $t=1-2+5=4$ .

CIE 9709 2025 Nov Paper 12 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程