曲线的方程为 $y=4x^{\frac{1}{2}}-x$。当 $x=a$ 时，曲线有一个最大点；曲线在坐标为 $(b,0)$ 的点处与 $x$ 轴相交，其中 $b>0$。阴影区域由曲线、直线 $x=a$ 和 $x$ 轴围成（见图）。

(a) 求 $a$ 的值。

(b) 求阴影区域的精确面积。

对 $4\sqrt x-x$ 求导。正的驻点左右导数符号相反，便可确认是最大点。

For $x>0$, $y'=2/\sqrt x-1$. It is zero when $\sqrt x=2$, so $x=4$. The derivative is positive on $(0,4)$ and negative for $x>4$. The curve is continuous at $0$, so its maximum occurs at $a=4$.

把 $\sqrt x$ 当作新变量。原函数就变成一个可以直接配方的二次式。

Let $u=\sqrt x$, so $u\ge0$. Then

The maximum occurs at $u=2$, which is in the permitted range. Thus $a=2^2=4$.

先找曲线的正横截距。图中的阴影从最大点所在的竖线延伸到这个截距，因此积分下限是 $a$。

Setting $4\sqrt x-x=0$ gives $\sqrt x(4-\sqrt x)=0$. The positive intercept is $b=16$. Since the curve lies above the axis on $[4,16]$, the shaded area is

square units.