函数 $f$ 定义为 $f(x)=\frac{4}{(3x-6)^2}+\frac{1}{(3x-6)^3}$，其中 $x>2$。

(a) 求 $f'(x)$ 的表达式，并由此判断 $f$ 是增函数、减函数，还是两者都不是。

(b) 说明 $f^{-1}$ 是否存在，并给出理由。

函数 $g$ 定义为 $g(x)=4x-3$，其中 $x>a$。

(c) 用常数 $a$ 表示 $g$ 的值域。

(d) 求使复合函数 $fg$ 存在的 $a$ 的取值范围。

把分式改写为负指数，用链式法则求导。定义域内 $3x-6$ 为正，因此可以逐项判断导数的符号。

Differentiating with the chain rule gives

For $x>2$ both denominators are positive, so $f'(x)<0$ throughout its domain. Thus $f$ is strictly decreasing.

严格单调的函数不会在两个不同的输入处取得同一个输出。

Yes, $f^{-1}$ exists. Since $f$ is strictly decreasing on $x>2$, it is one-to-one.

线性函数的斜率为正。输入从 $a$ 的右侧开始，因此输出从 $4a-3$ 的上方开始。

As $x$ ranges over $(a,\infty)$, the increasing function $4x-3$ takes all values in $(4a-3,\infty)$.

要在 $g$ 的整个定义域上计算 $f(g(x))$，$g$ 的值域必须落在 $x>2$ 内。注意下端点没有包含在值域中。

The range $(4a-3,\infty)$ must be a subset of $(2,\infty)$. This holds precisely when $4a-3\ge2$. Equality works because the lower endpoint is excluded. Thus $a\ge\frac54$.