题目

Problem

(a) Expand $\left(2-\frac{1}{2}x\right)^6$ in ascending powers of $x$ up to and including the term in $x^3$ .

[3]

(b) Hence find the coefficient of $x^3$ in the expansion of $\left(3-x+2x^3\right)\left(2-\frac{1}{2}x\right)^6$ .

[2]

题目中文翻译

(a) 将 $\left(2-\frac{1}{2}x\right)^6$ 按 $x$ 的升幂展开，直到并包括 $x^3$ 项。

(b) 由此，求 $\left(3-x+2x^3\right)\left(2-\frac{1}{2}x\right)^6$ 展开式中 $x^3$ 的系数。

解答

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用二项式定理。选 $k$ 个 $-x/2$ 就产生 $x^k$ ，题目只要 $k=0,1,2,3$ 的四项。

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Using the binomial theorem, the terms up to degree three are

\begin{align*} &\,2^6+\binom61 2^5\Big(-\frac x2\Big)\\ &\,\hspace{2pt}+\binom62 2^4\Big(-\frac x2\Big)^2 +\binom63 2^3\Big(-\frac x2\Big)^3\\ =&\,64-96x+60x^2-20x^3. \end{align*}

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承接 (a)，只配对次数相加等于 $3$ 的项。第一个因式没有 $x^2$ 项。

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The $x^3$ terms come from $3(-20x^3)$ , $(-x)(60x^2)$ and $(2x^3)(64)$ . Thus the coefficient is

3(-20)-60+2(64)=8.