函数 $f$ 定义为 $f(x)=px^2+4x+q$，其中 $x\in\mathbb{R}$，$p$ 和 $q$ 是常数。

(a) 已知 $p=2$ 且 $q=10$。

(i) 将 $f(x)$ 表示为 $a(x+b)^2+c$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数。

(ii) 写出 $f$ 的值域。

(b) 若改为已知 $q=-5$，并且 $f(x)=0$ 的根为 $5m$ 和 $-9m$，其中 $m$ 是常数。

求 $p$ 和 $m$ 的值。

提出 $2$ 后，括号里是 $x^2+2x$。配成 $(x+1)^2$，再调整常数项。

For $p=2$ and $q=10$,

Thus $a=2$, $b=1$ and $c=8$.

平方项最小是零，且可以随着 $x$ 的变化取任意非负值。

Since $x$ ranges over all real numbers, $(x+1)^2$ takes every nonnegative value. The range is $[8,\infty)$.

已知两个根，先把二次式写成因式分解的形式。比较一次项与常数项，就能得到两个关于 $p,m$ 的条件。

With roots $5m$ and $-9m$,

Comparing with $px^2+4x-5$ gives $pm=1$ and $45pm^2=5$. Substituting $pm=1$ into the second equation gives $45m=5$, so $m=\frac19$ and $p=9$.

也可以把两根分别代入方程，得到两个等式。相减后能消去常数项。

As both roots satisfy $f(x)=0$,

Subtracting the first equation from the second gives $56m(pm-1)=0$. Since $f(0)=-5$, $m\ne0$, so $pm=1$. The first equation then becomes $25m+20m-5=0$, yielding $m=\frac19$ and $p=9$.