一条曲线的方程为 $y=\frac{8}{3x-8}-\frac{6}{x-1}$。

(a) 求曲线在点 $(3,5)$ 处的切线与直线 $y=-8x$ 的交点坐标。

(b) (i) 求曲线每个驻点的 $x$ 坐标。

(ii) 求 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$，并由此判断每个驻点的性质。

先求导并在 $x=3$ 处算切线斜率。写出切线的点斜式后，与 $y=-8x$ 联立。

The derivative is

At $x=3$, it is $-24+\frac64=-\frac{45}2$. Thus the tangent satisfies

Substituting $y=-8x$ gives $-16x-10=-45x+135$, so $x=5$ and $y=-40$. The intersection is $(5,-40)$.

令一阶导数为零并去掉分母。两边都是平方式，开平方时需要保留正、负两种关系。

On the domain $x\ne1,\frac83$, setting the derivative equal to zero gives

These give $x=6$ and $x=2$, respectively. Both belong to the domain.

再次求导，分别代入两个驻点的横坐标。二阶导数为负时是局部极大，为正时是局部极小。

Differentiating again gives

At $x=2$ this equals $\frac{144}{(-2)^3}-12=-30<0$, so the point is a local maximum. At $x=6$ it equals $\frac{144}{10^3}-\frac{12}{5^3}=\frac6{125}>0$, so the point is a local minimum.