题目
Problem
The equation of a curve is y=f(x), where f(x)=21x32(x−2)2. The following points lie on the curve. Non-exact values of the y-coordinates are given correct to 6 decimal places.
A(8,72),B(8.001,k),C(8.01,72.300388),D(8.1,75.038882)
(a) Find the value of k. Give your answer correct to 6 decimal places.
[1]
The table below shows the gradients of the chords AB and AC, given correct to 4 decimal places.
| Chord | AB | AC | AD |
|---|
| Gradient of chord | 30.0039 | 30.0388 | |
(b) Find the gradient of the chord AD. Give your answer correct to 4 decimal places.
[1]
(c) State what the values in the table suggest about the value of f′(8).
[1]
题目中文翻译
一条曲线的方程为 y=f(x)，其中 f(x)=21x32(x−2)2。下列点在曲线上。给出的 y 坐标非精确值均保留到 6 位小数。
A(8,72),B(8.001,k),C(8.01,72.300388),D(8.1,75.038882)
(a) 求 k 的值。答案保留到 6 位小数。
下表给出了弦 AB 和 AC 的斜率，均保留到 4 位小数。
| 弦 | AB | AC | AD |
|---|
| 弦的斜率 | 30.0039 | 30.0388 | |
(b) 求弦 AD 的斜率。答案保留到 4 位小数。
(c) 说明表中的数值暗示 f′(8) 的值是什么。
解答
(a)
解法一
思路
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把 B 的横坐标代入 f，计算到最后才四舍五入。
答题过程
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Substituting x=8.001 gives
k=21(8.001)2/3(8.001−2)2=72.030004
to six decimal places.
(b)
解法一
思路
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用纵坐标差除以横坐标差。结果保留四位小数。
答题过程
展开
The gradient of AD is
8.1−875.038882−72=30.38882,
so the gradient is 30.3888 to four decimal places.
(c)
解法一
思路
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第二个点越靠近 A，割线就越接近 A 处的切线。按 D,C,B 的顺序看表中的斜率。
答题过程
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As the second point approaches A, the chord gradients 30.3888, 30.0388 and 30.0039 approach 30. The table therefore suggests f′(8)=30.
