图中显示的是圆心为 $O$、半径为 $4$ cm 的圆的一部分。弦 $PQ$ 的长度为 $4\sqrt{3}$ cm，且角 $POQ=\theta$ 弧度。点 $X$ 在圆上。

(a) 求 $\theta$ 的精确值。

(b) 求弓形 $PXQ$ 的精确面积。

圆心和弦的两个端点组成等腰三角形。三边都已知，可以用余弦定理求圆心角。

In triangle $POQ$, the cosine rule gives

The angle shown lies between $0$ and $\pi$, so $\theta=\frac{2\pi}3$.

从 $O$ 向弦 $PQ$ 作垂线。它平分弦和顶角，便可用半个圆心角的正弦。

The perpendicular from $O$ to $PQ$ bisects the chord and angle $POQ$. In either right triangle,

Since $0<\frac\theta2<\frac\pi2$, we obtain $\frac\theta2=\frac\pi3$ and $\theta=\frac{2\pi}3$.

$X$ 在优弧上，所以题目要求大弓形。用整圆面积减去劣弧与弦之间的小弓形。

Using (a), the minor segment has area

Subtracting it from the area of the full circle gives

也可以直接把大弓形分成优扇形和三角形。优扇形的圆心角是 $2\pi-\theta$，加上三角形面积即可。

The major sector has angle $2\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$. Adding the area of triangle $POQ$ gives