图中显示的是 $y=x^3$ 和 $y=f(x)$ 的图像。$y=x^3$ 的图像通过一系列变换得到 $y=f(x)$ 的图像。

(a) 完整描述一种合适的变换顺序。需要清楚说明这些变换应用的先后顺序。

(b) 已知 $f(x)=a(x+b)^3+c$。

写出常数 $a$、$b$ 和 $c$ 的值。

原曲线的水平拐点是 $(0,0)$，新曲线的水平拐点是 $(3,-4)$。比较两条曲线上各自向右一格的点，可以看出竖直伸缩比例。

On $y=x^3$, the point one unit to the right of the stationary inflection has height $1$ above it. On $y=f(x)$, the corresponding point $(4,-2)$ is two units above $(3,-4)$. A suitable sequence is:

1. Stretch by scale factor $2$ in the $y$-direction.
2. Translate by $\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$.

In this order the image has equation $y=2(x-3)^3-4$.

若先平移再伸缩，平移造成的纵向位移也会乘以 $2$。因此先下移 $2$，伸缩后就会下移 $4$。

First translate by $\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$, giving $y=(x-3)^3-2$. Then stretch by scale factor $2$ in the $y$-direction to obtain $y=2(x-3)^3-4$. The stationary inflection maps to $(3,-4)$ and $(1,1)$ maps to $(4,-2)$.

把变换后的方程与题目给出的形式逐项比较。注意 $x-3$ 对应 $b=-3$。

Comparing $f(x)=2(x-3)^3-4$ with $a(x+b)^3+c$ gives $a=2$, $b=-3$ and $c=-4$.