题目

Problem

The function $g$ is defined by $g(x)=\frac{2}{ax-3}+\frac{1}{2}$ for $x>\frac{3}{a}$ , where $a$ is a positive constant.

Find $g^{-1}(x)$ and hence verify that if $a=6$ then $g^{-1}(x)\equiv g(x)$ .

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题目中文翻译

函数 $g$ 定义为 $g(x)=\frac{2}{ax-3}+\frac{1}{2}$ ，其中 $x>\frac{3}{a}$ ， $a$ 是正的常数。

求 $g^{-1}(x)$ ，并由此验证当 $a=6$ 时， $g^{-1}(x)\equiv g(x)$ 。

解答

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先从 $y=g(x)$ 解出 $x$ 。确认原函数的值域，再代 $a=6$ ，检查两个函数的表达式和定义域。

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From $y=\frac12+\frac2{ax-3}$ ,

(y-\tfrac12)(ax-3)=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac3a+\frac{2}{a(y-\tfrac12)}.

For $x>3/a$ we have $y>\frac12$ , and the formula for $x$ yields one permitted $x$ for every such $y$ . Thus

g^{-1}(x)=\frac3a+\frac{4}{a(2x-1)},\qquad x>\frac12.

When $a=6$ , the domain of $g$ is also $x>\frac12$ , and

g^{-1}(x)=\frac12+\frac4{6(2x-1)} =\frac12+\frac2{6x-3}=g(x).