函数 $f$ 定义为

其中 $x>2$。

(a) 已知 $f(a)=4$。

求 $a$ 的值。

(b) 求 $f^{-1}(x)$ 的表达式，并写出 $f^{-1}$ 的定义域。

(c) 函数 $g$ 定义为

其中 $x>\frac{3}{2}$。

证明 $fg(x)=kx$，其中 $k$ 是需要求出的常数。

把 $a$ 代入函数，移去常数项后只剩一个分式方程。

From $f(a)=4$,

This satisfies $a>2$.

先令 $y=f(x)$，把 $x$ 用 $y$ 表示。反函数的定义域是原函数的值域。

Writing $y=3+\frac7{x-2}$ gives

For $x>2$ the original expression gives $y>3$. Conversely, each $y>3$ gives exactly one $x=2+\frac7{y-3}>2$. Therefore

复合式中最关键的部分是 $g(x)-2$。先通分化简这个分母，也能同时检查 $g(x)$ 是否落在 $f$ 的定义域内。

For $x>\frac32$,

Thus $g(x)>2$ and $f(g(x))$ is defined. Substituting gives

Hence $k=2$.

把 $g(x)$ 改写成 (b) 中反函数的形式。如果能识别出 $g(x)=f^{-1}(2x)$，复合后就回到 $2x$。

Since $1+4x=2(2x-3)+7$, we have

Here $2x>3$, so $2x$ is in the domain of $f^{-1}$. It follows that $fg(x)=f(f^{-1}(2x))=2x$, giving $k=2$.