图中显示的是方程为 $y=4x^2-x^3$ 的曲线，以及曲线在点 $P$ 处的切线。点 $P$ 的 $x$ 坐标为 $3$。

(a) 求曲线在点 $P$ 处切线的方程。答案写成 $y=mx+c$ 的形式。

(b) 阴影区域由曲线、$x$ 轴和曲线在 $P$ 处的切线围成。

求阴影区域的精确面积。

图像 $y=4x^2-x^3$ 经过 $x$ 方向上比例因子为 $\frac{1}{3}$ 的伸缩变换。点 $Q$ 是点 $P$ 在该变换下的像。变换后的阴影区域由变换后的曲线、$x$ 轴和变换后曲线在 $Q$ 处的切线围成。

(c) (i) 求变换后曲线的方程，写成 $y=mx^2+nx^3$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是需要求出的整数。

(ii) 写出 $Q$ 的坐标以及变换后阴影区域的面积。

先用原方程求 $P$ 的纵坐标，再用导数求切线斜率。已知一点和斜率就可以写切线方程。

At $x=3$, $y=4(3)^2-(3)^3=9$, so $P=(3,9)$. The gradient is

The tangent is $y-9=-3(x-3)$, or $y=-3x+18$.

把阴影看成一个三角形挖去一块曲线下方面积。切线与曲线的右侧横截距决定两块面积的积分或计算范围。

The tangent from (a) meets the $x$-axis at $x=6$. The curve $y=x^2(4-x)$ meets it again to the right of $P$ at $x=4$. The area under the tangent from $x=3$ to $x=6$ is $\frac12(6-3)\cdot9=\frac{27}{2}$. From this triangle we subtract the area under the curve between $x=3$ and $x=4$:

The shaded area is $\frac{27}{2}-\frac{67}{12}=\frac{95}{12}$ square units.

也可以在 $x=4$ 处把阴影分成两块。左边用切线高度减曲线高度，右边的边界只有切线和 $x$ 轴。

The curve and tangent meet the $x$-axis at $4$ and $6$, respectively, to the right of $P$. Between $x=3$ and $x=4$ the difference in height is

Its integral is

The triangle from $x=4$ to $x=6$ has height $6$ and area $\frac12(6-4)\cdot6=6$. Thus the total is $\frac{23}{12}+6=\frac{95}{12}$ square units.

变换后的横坐标是原来横坐标的三分之一。写新方程时，要用 $3x$ 找回对应的原横坐标。

At a new horizontal coordinate $x$, the original coordinate was $3x$ and the height is unchanged. The transformed equation is

把 $P$ 的横坐标除以 $3$。阴影区域的高度不变，每条水平线段的长度变为原来的三分之一，所以面积也变为原来的三分之一。

The point $P=(3,9)$ maps to $Q=(1,9)$. The transformation carries the entire region to the new region, scaling all horizontal lengths by $\frac13$ while keeping vertical lengths unchanged. The transformed area is

square units.