题目
Problem
A geometric progression has first term 3+42 and second term 5−2.
(a) Find the common ratio of the geometric progression. Give your answer in the form 2+p, where p is an integer to be found.
[3]
(b) Find the sum to infinity of the geometric progression.
[2]
题目中文翻译
一个等比数列的第一项为 3+42，第二项为 5−2。
(a) 求这个等比数列的公比。答案写成 2+p 的形式，其中 p 是需要求出的整数。
(b) 求这个等比数列的无穷和。
解答
(a)
解法一
思路
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第二项除以第一项得到公比。用分母的共轭式有理化，便能读出整数项。
答题过程
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The common ratio is
r==3+425−2⋅3−423−429−3215+8−232=2−1.
Hence p=−1.
解法二
思路
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题目已经给出公比的形式。用“第一项乘公比等于第二项”建立等式，比较有理部分即可求出整数 p。
答题过程
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Since the common ratio has the form 2+p with p an integer,
(3+42)(2+p)=(8+3p)+(3+4p)2=5−2.
Comparing rational parts gives 8+3p=5, so p=−1. This also gives 3+4p=−1, as required for the coefficient of 2. Hence the common ratio is 2−1.
(b)
解法一
思路
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先检查公比的绝对值小于 1，再用等比数列的无穷和公式。
答题过程
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Since 0<2−1<1, the sum to infinity exists and is
S∞==1−(2−1)3+42=(2−2)(2+2)(3+42)(2+2)214+112=7+2112.
