题目

Problem

(a) Express $4x^2+10x+6$ in the form $a(x+b)^2+c$ , where $a$ , $b$ and $c$ are rational constants to be determined.

[2]

(b) The curve with equation $y=4x^2+10x+6$ and the line $y=k$ have exactly one point of intersection.

Using your answer to part (a) or otherwise, state the value of the constant $k$ .

[1]

题目中文翻译

(a) 将 $4x^2+10x+6$ 表示为 $a(x+b)^2+c$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是需要求出的有理常数。

(b) 方程为 $y=4x^2+10x+6$ 的曲线与直线 $y=k$ 恰好有一个交点。

利用你在 (a) 中的答案，或用其他方法，写出常数 $k$ 的值。

解答

(a)

解法一

思路

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先提出二次项的系数 $4$ 。括号内一次项系数的一半是 $\frac54$ ，补平方后再减去多出的常数。

答题过程

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Completing the square gives

\begin{align*} 4x^2+10x+6 =&\,4\big(x^2+\frac52x\big)+6\\ =&\,4\Big[\big(x+\frac54\big)^2-\frac{25}{16}\Big]+6\\ =&\,4\big(x+\frac54\big)^2-\frac14. \end{align*}

Thus $a=4$ , $b=\frac54$ and $c=-\frac14$ .

(b)

解法一

思路

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水平线恰好只与开口向上的抛物线相交一次，交点就是顶点。

答题过程

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From (a), the parabola has minimum value $-\frac14$ , attained only at $x=-\frac54$ . The horizontal line meets the parabola at just this point when $k=-\frac14$ .

CIE 9709 2025 Nov Paper 15 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程