图中显示的是一家公司新标志的设计。圆心为 $O$ 的圆扇形半径为 $r$ cm。锐角 $AOC=\frac{1}{3}\pi$ 弧度。四边形 $OABC$ 是菱形。

(a) 求这个设计的周长表达式。答案用 $\pi$ 和 $r$ 表示。

(b) 现在已知这个设计的周长为 $200$ cm。

求这个设计的面积。答案保留 $3$ 位有效数字。

沿图形外边界走一圈，只经过优弧和菱形的两条外边。$OA$、$OC$ 是内部的接合边。

The angle of the major sector is $2\pi-\frac\pi3=\frac{5\pi}{3}$. Its arc has length $\frac{5\pi r}{3}$. Since all sides of the rhombus have length $r$, the perimeter is

先用周长求半径。图形由大扇形和菱形拼成，菱形的面积可用相邻两边及其夹角求出。

Using (a),

The area of the major sector is $\frac12r^2\cdot\frac{5\pi}{3}$. The rhombus has area $r^2\sin(\pi/3)=\frac{\sqrt3}{2}r^2$. Thus the total area is

to three significant figures.

也可以从整圆出发。先去掉弦 $AC$ 与劣弧 $AC$ 之间的弓形，再加上三角形 $ABC$。

From the perimeter, $r=\frac{600}{5\pi+6}$. The area between the minor arc and the chord $AC$ is

The diagonal $AC$ divides the rhombus into two congruent triangles, so triangle $ABC$ has area $\frac12r^2\sin\frac\pi3$. The required area is

to three significant figures.