图中显示的是方程为 $y=\sqrt{6x+5}$ 的曲线。阴影区域由曲线、$x$ 轴以及直线 $x=a$ 和 $x=2a$ 围成，其中 $a$ 是正的常数。

阴影区域绕 $x$ 轴旋转 $360^\circ$ 形成一个立体。该立体的体积为 $V$，且 $V\ge 46\pi$。

(a) 证明 $9a^2+5a-46\ge 0$。

(b) 求 $a$ 的可能取值范围。

垂直于 $x$ 轴的截面是圆盘，半径是 $y$。将截面积 $\pi y^2$ 在 $[a,2a]$ 上积分，再代入体积下限。

The volume is

Since $V\ge46\pi$ and $\pi>0$, we obtain $9a^2+5a-46\ge0$.

求出二次式的两个零点。开口向上的二次式在两根外侧非负，最后还要取与 $a>0$ 的交集。

The inequality factors as

The zeros are $2$ and $-\frac{23}{9}$. Because the leading coefficient is positive, the inequality holds for $a\le-\frac{23}{9}$ or $a\ge2$. As $a$ is positive, the required range is $a\ge2$.