题目

Problem

In the expansion of $(p+qx)^4$ , the coefficient of $x$ is equal to the coefficient of $x^2$ . The constants $p$ and $q$ are both positive.

(a) Find the ratio $p:q$ . Give your answer in its simplest form.

[3]

(b) It is given that the coefficient of $x^3$ is $486$ .

Find the values of $p$ and $q$ .

[4]

题目中文翻译

在 $(p+qx)^4$ 的展开式中， $x$ 的系数等于 $x^2$ 的系数。常数 $p$ 和 $q$ 都为正数。

(a) 求比值 $p:q$ 。答案写成最简形式。

(b) 已知 $x^3$ 的系数为 $486$ 。

求 $p$ 和 $q$ 的值。

解答

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要得到 $x^k$ 项，就在四个因子里选 $k$ 个 $qx$ ，其余选 $p$ 。写出两个系数相等的式子后约掉公共因子。

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The coefficients of $x$ and $x^2$ are $\binom41p^3q=4p^3q$ and $\binom42p^2q^2=6p^2q^2$ , respectively. Equating them and dividing by $2p^2q>0$ gives

2p=3q.

Thus $p:q=3:2$ .

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用 (a) 的比例把 $p$ 换成 $q$ 的倍数，代入 $x^3$ 的系数。题设要求 $q>0$ 。

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The coefficient of $x^3$ is $\binom43pq^3=4pq^3$ . Using $p=\frac32q$ from (a), we have

4\Big(\frac32q\Big)q^3=486 \quad\Longrightarrow\quad q^4=81.

Since $q>0$ , $q=3$ and $p=\frac92$ .